Welcome to my blog! My name is Yaghoub Sharifi. You should look at this blog as my public electronic notebook and not lecture notes. This blog was not created to teach anyone anything or tell anyone how I learn or discover things! If you liked it, great and if you didn’t, great again! It’s all good, peace! 🙂

P.S. I also have a calculus blog that might interest you. Well, it’s a little less boring than standard calculus. 😉

  1. Dong says:

    Why it is written in Russian

  2. marjan says:


    Dear Mr.Sharifi
    I am interested in representation theory and for my research I have face to an problem about induced representation of dihedral group. All of example which I have seen is when H was generated one element for example H= I want to resolve it when H is generated by two elements for example when H= in D12.

    My problem is it exactly

    Consider the subgroup H of D12 was generated by R^ 3 and S. This subgroup
    is isomorphic to the dihedral group D4. Denote F: the unique character
    irreducible H such that F(Identity Matrix) = 2, that is to say has the unique irreducible character
    of degree 2. Calculate the character induced F And decompose this character induced Into a sum of irreducible characters
    I am very pleased if you help me with this, some examples or references?

    I will sent to your email the original exercise if I find your email as attached file.


  3. Jim says:

    You have a very instructive blog, thanks for that. Your blog shows up every now and then when I google something related to Algebra. 🙂
    I have a (simple?) question on Algebra and I was wondering if you could give me a quick answer or a reference that could help. I’m interested in finding the subgroups of the nth order direct sum of a non-Abelian group to itself. For example, let $G=\mathds{D}_6$ (Dihedral group of order 6), is there a way to find (all or many of) subgroups of $G^n$?
    I can use Goursat’s lemma sequentially but I was wondering if there is a simpler more practical way.
    Thanks in advance!

    • Jim says:

      One more thing, I’m interested in the case where $n$ is large (eventually going to infinity).

    • Yaghoub says:

      I don’t know about the general case but I think it is doable if G is a dihedral group of order 2p (p prime). I don’t know exactly how right now but it might be possible to extend this idea! We first need to solve the problem for a finite cyclic group G. Assuming that and G=D_{2p}=\langle a,b: \ o(a)=2, o(b)=p, ab=b^{-1}a \rangle, let N=\langle b \rangle^n. Now if H is a subgroup of G^n, then |H|=2^r|H \cap N| for some integer 0 \leq r \leq n. We also have |H \cap N| \mid p^n. We already know how H \cap N looks like. If r=0, then H=H \cap N and we are done. Otherwise, there exists some h_1 \in H \setminus H \cap N and then look at (H \cap N) \cup h_1(H \cap N), etc. The good thing about p being prime is that N is now a vector space over \mathbb{Z}/p and so its subgroups are just its subspaces. Anyway, this is just my first thought.

      • Jim says:

        Thanks for your reply, your comments and the links were very helpful. So, just to make sure I got it right, you are saying depending on the value of $r$, we will have to find what are the possibilities for the subgroup $H$. For example, if $r=0$, $H$ can be any subspace of $N$ which are easy to find. For $r=1$, if $h_1\in\{y, x y, x^2 y\}^n$ ($x$ is the element of $D_{2p}$ of order $p$ and $y$ is of order $2$) then that union that you mentioned is a subgroup of $G^n$ of the right order (there may be other choices for $h_1$ as well).

        Now similarly for $r=2,3,\cdots,n$ we need to find all those possible $h_1$’s (or even maybe $h_2$’s, $h_3$’s and so on)?

      • Yaghoub says:

        Right! It is also important, for the converse process, to notice that if h_1 \in H \setminus H \cap N, then (H \cap N) \cup h_1(H \cap N) is a subgroup (of order 2|H \cap N| obviously). This follows from two facts:
        1) h_1^2 \in H \cap N because those coordinates of h_1 which are not in \langle b \rangle have order two.
        2) H \cap N is a normal subgroup of H.

  4. Sneezy says:

    Hey, thanks for writing your blog, it’s really helped me understand things that textbooks would just skip over. I was wondering if you had a list of the useful books you used that you could add to the website? That would make this blog perfect! For my own interests, I’m thinking about good books that you might’ve used for central simple algebras and the Brauer group… ? 🙂
    Thanks again for this blog, it’s such a good idea to have somewhere which explains this level of maths at a student level 🙂

    • Yaghoub says:

      Well, I’ll try to do that someday! The list of books, papers and online sources that I’ve used is quite long.
      Anyway, for “central simple algebras”, you should take a look at “Noncommutative Algebra,” written by Benson Fab and Keith Dennis. I think the book is a good introduction to the theory of central simple algebras and, more generally, Azumaya algebras.

  5. بهار says:

    سلام و شرمنده بابت اینکه مزاحم میشم

    ببخشید یه سوالی داشتم .اگه وقت کردین یه توضیحی برام بگین. من فرق بین دنباله دقیق کوتاه و توسیع رو نمیفههم .. اخه انگار یکی هستن .
    Short exact sequence and extension

    اخه تو هر دوتاش تابع اولی بک به یک و دومی پوشاست و بنابراین واسه هر دوتاش


    حالا نمیدونم با این وجود چه فرقی بینشون هست ؟ ایا توی توسیع
    نرمال تو
    هست؟؟؟؟ اخه توی دنباله دقیق میتونن هیچ نسبتی با هم نداشته باشن

    ولی توی این سایت منظورش این بود که توی توسیع هم میشه نرمال نباشه
    ممنونم ازتون

    • Yaghoub says:

      They’re the same because if 1 \to A \to B \to C \to 1 is exact with f: A \to B and g: B \to C, then im(f)=\ker g. Now, we know that the kernel of a homomorphism is a normal subgroup and so A \cong im(f) is normal in B.

      • bahar says:

        مرسی . لطف کردین
        ببخشید یه سوال دیگه هم بپرسم؟ واقعا احتیاج دارم و کسی نیست که منو حتی راهنمایی کنه …..،ا
        من میخوام تو 2 تا لی جبر پیدا کنم که با هم یکریخت باشند و احتیاج دارم که مشتق و مرکزشون هم داشته باشم و از بعد متناهی هم باشند و ترجیحا بعد هایی که پایین باشند مثل 2 و 3
        الان خودم مثلا
        را در نظر میگیرم
        این بعدش که 3 هستش .پایه هاش هم میدونم و مشتقش هم که برابر خودش هست و مرکزش هم فک میکنم صفر میشه .
        حالا میخوام یه جبر لی دیگه پیدا کنم که بگم با
        یکریخت هستش
        میشه یه جبر لی که با این یکریخت هستو بگین؟

        یا مثلا چندتا جبر لی از بعد 2-3 که باهم یکریخت هستنو بگین .

        ممنونم ازتون خیلی لطف میکنید

      • Yaghoub says:

        If L is a (complex) Lie algebra of dimension three and L'=L, then L \cong \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}). Use this fact to show that \mathfrak{so}(3, \mathbb{C}) \cong \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}).

  6. بهار says:

    سلام. خوب هستین. سایتون عالیه. مرسی
    جالبیش اینه که تو ایران الان فیلتره این سایت!!!
    ببخشید مزاحمتون میشم همیشه. به خدا گیر کردم شدید. من پایان نامه ام درباره ایزوکلینیسم هست و توسیع ها .
    اینجااا هیچ کتاب و هیچ منبعی نیست. یه کتاب یعنی یه لکچر نوت فقط استادمون داده بهمون که از روش کار میکنیم اون هم کلا مقاله بوده و اصلا باز شده نیست و کاملا حرفه ای کار شده بوده
    میخواستم ازتون خواهش کنم که اگه در زمینه ایزوکلینیسم کتاب جزوه مقاله هرچی که دارین درباره توسیع ها و ایزوکلینیسم .بهم لطف کنید ایمیل کنین برام.ممنون میشم ازتون.

    ما روی لکچر نوت
    F.Rudolf Beyl
    داریم کار میکنیم.
    بحثاش واقعا سنگینه .

    خیلی بهم لطف میکنید.مرسی

    • Yaghoub says:

      سلام، متاسفانه با این چیزی که گفتید آشنایی ندارم و آن کتاب را هم هرگز ندیدم. البته، اگر مسئله ای دارید که برای حلش به کمک نیاز دارید، خوشحال می شوم، اگر بتوانم، کمکی کنم

      • بهار says:

        ممنونم ازتون که جواب دادین.
        این مطالبم به ضربگر شور هم مربوط میشه. میتونم بگم قسمت ایزوکلینیسمشو نسبتا کار کردم ویاد گرفتم تا حدودی..
        ولی توی ضربگر شور رو متوجه نمیشم.
        شما ضربگر شور کار کردین؟
        به خدا میخواستم گریه کنم امشب از دست این بحث هاش
        من شاگرد اول هم هستم نسبتا خوب میتونم قضایارو درک کنم ولی واقعا اینجا گیر افتادم . ضربگر شور رو خیلی تو این بحث نمیفهمم.
        اگه شما ضربگر شور کار کردین میتونید فقط یک صفحه اول ش رو یا حتی نصف صفحه اش رو برام توضیح بدین؟
        اگه اولشو بفهمم بقیه اش رو میتونم باز کنم

      • Yaghoub says:

        By “ضربگر شور” did you mean “Schur multipliers”?
        اگر اینه، آن چیزهایی که در این باره دارید به همراه مشکلی که بهش برخورد کردید برای من بفرستید تا ببینم چجوری میشه کمک تون کرد. ضمنا عذر میخوام که اولش را به انگلیسی نوشتم چون وقتی نوشته فارسی را با انگلیسی قاطی می کنم، کل نوشته به هم می ریزه. نمیدونم چرا ورد پرس اینجوریه

      • بهار says:

        سلام. ممنونم ازتون . اره همون شور مولتی پلیر هست … میتونم یه ایمیل ازتون داشته باشم؟ اخه الان میخواستم یه عکس از همون صفحه رو بفرستم که واضح تر سوال معلوم میشه. اینجا نمیشه عکسو فرستاد.

        حالا سوالو سعی میکنم تایپ کنم اینجا

        فرض کنید که توسیع مرکزی زیر رو داریم

        e: N >- ——– اسم این تابع خی باشه —> G——->> Q

        و همچنین

        TETA* : M(Q) —–> N

        در این صورت

        خی TETA* : M(Q) —-> G

        خالا گفته که

        Img( خی TETA*) = خی N اشتراکش با [G,G]

        من این تیکه اخر رو نفهمیدم از کجا نوشت.. .

        اینو اگه خواستین استفاده کنین میدونم که }}}
        [خی N,G]=0

        بعد یه سوال دیگه هم هست که بعدش گفته که حالا

        ker teta* .——> M(Q)——-> [G,G]——-> [Q,Q]

        دنباله دقیق است!!!!
        نمیفهمم چرا دقیق میشه.. چه طوری ایمیج یکی مونده به آخری با کرنل تابع اخری برابر میشه!!!

        خیلییییی ممنونم که جواب منو میدین. امیدوارم که همیشه موفق باشین تو زندگیتون. و بهترین ها رو براتون آرزو میکنم… روز معلم و استاد هم بهتون تبریک میگم.


      • Yaghoub says:

        Ok, I managed to find the lecture note that you’re using and so I can answer your questions now. First of all, since \chi is injective, for the sake of simplicity, I’ll assume that N \subseteq Z(G), i.e. I’ll take \chi to be the identity map. Now, the key to your questions is Proposition 3.5 in your lecture note. The proposition says that a central extension N \overset{\chi}{\rightarrow} G \overset{\pi}{\rightarrow} Q induces an exact sequence M(G) \rightarrow M(Q) \overset{\theta_*(e)}{\rightarrow} N \overset{\chi_0}{\rightarrow} G/[G,G] \overset{\pi_0}{\rightarrow} Q/[Q,Q] \rightarrow (0), where \chi_0 and \pi_0 are the maps induced by \chi and \pi respectively. So Im(\theta_*(e)) = \ker \chi_0=N \cap [G,G]. This answers your first question.
        For your second question, note that the map \theta' : M(Q) \rightarrow [G,G] is basically \theta_*(e) and so Im(\theta')=N \cap [G,G]. On the other hand, the map \pi': [G,G] \rightarrow [Q,Q] is just the restriction of \pi to [G,G] and thus \ker \pi'= \ker \pi \cap [G,G]=N \cap [G,G]=Im(\theta'). This answers your second question.

      • bahar says:

        ممنونم از توضیحاتتون و جوابتون . سپاسگذارم
        یه سوال کوچولو دیگه هم بپرسم.
        همون صفحه

        تو قسمت هایی دیگه همیشه میگه طبق


        دنباله 2.1 که همون کرنل داشت رو میگه
        خب؟ من نمیفهمم منظورش چه حالتی هست؟
        من طبیعی رو واسه یه تابع میدونم مثلا برروریختی کانونیک که میگیم برروریختی طبیعی هست .. به خاطر اون حالت خاص ضابطه اش میگیم که صابطه اش همیشه معلومه چیه

        اینجا نمیفهمم مثلا منظورش چیه! یعنی همه تابع هاش یه جوری با ضابطه های معلوم و خاصی هستن؟؟ تابع اولیش که شمول (اینکلوژن مپ) هست.. دومی رو نمیفهمم… سومی هم که القا شده از تابع پی هست

        فک کنم خیلی بد گفتم منطورمو .. نمیتونم درست بگم

        سعی میکنم دیگه مزاحمتون نشم
        بینهایت سپاسگذارم

      • Yaghoub says:

        فکر کنم منظور، به نوعی، کتگوریکی باشه. یعنی اگه با دو تا توسیع مرکزی داشته باشیم (و یک مرفیزم بین آنها) و اگر دو رشته دقیق متناظر با آنها (رشته دقیق (۲.۱) در صفحه ای که برای من ایمیل کردید) را زیر هم بنویسیم، دایاگرام حاصل جابجایی خواهد بود
        این در واقع در اثبات لم ۲.۱ در همان صفحه ای که برای من ایمیل کردید هم ذکر شده

      • bahar says:

        ممنونم از اینکه جوابمو میدین

      • bahar says:

        سلام . خوبین ؟ یکم کمک میخوام . متاسفانه پیش هر استادی میرم یا میگه وقت ندارم یا میگه خودم دانشجو دارم پایان نامه دارن و هیچکی مارو کمک نمیکنه . استاد مشاورم که کلا فک نکنم موضوع پایان نامم بدونه چیه !
        استاد راهنمام هم همش مشغوله هر ۱۰-۱۵ روز میاد دانشگاه و ۱ ساعته هم میخواد همه دانشجوها باهم سوالاتشونو بپرسن تا برگرده بره
        من دوباره با همون کتابی که گرفته بودین مشکل دارم . ۸۰ صفحه پایان نامم امادست و کامله . ولی چند صفحه ای که مال اون کتاب هست و قضیه هاش هستن همشون وسطشون دلیل بعضی چیزارو نمیدونم و وسطشون ایراد دارم
        )دقیق ابعد از همون تیکه هایی که شما حل کرده بودین… از اونجا به بعد تا ۲-۳ صفحه بعدش
        استادا که هیچکی به ما کمک نمیکنه دنبال دانشجویی چیزی هستیم .
        میخواستم بگم شما از دانشجوهای دکتری اینجا یا هرجا که ایرانی باشه یا بچه های خیلی زرنگ ارشد که تو زمینه نظریه گروهها کار کردن آشنا ندارین بهم کمک کنه؟
        بخاطر وقتی هم که میزاره پولشو هم هر چی بگه مشکلی نیست.
        اگه بخواد با همون ایمیل میفرستم برام باز کنه قضیه هاشو .پولش هم کارت به کارت میکنم . چون حضوری شاید نشه ببینمش
        که برام کلاس خصوصی بزاره و بهم توضیح بده مطالبو
        نمیخوام پایان نامم ناقص باشه . واقعا خیلی به کمک احتیاج دارم . واسه فهمیدن خودم هم میخوام. میخوام مطالبو خودم بدون اشکال بفهمم ولی
        حیف که استادا نمیخوان کمک کنن……….
        تورو خدااگه کسی میشناسین که میتونه برام اثباتشو بنویسه بگین . .من تقریبا ۲ هفته دیگه باید پایان ناممم رو تحویل بدم و تقریبا ۱ ماه بعد دفاع دارم هنوز تاریخ دقیق دفاعو نگفتن . ولی ۲ هفته دیگه باید اینو به داور و اینا تحویل بدم
        خواهش میکنم کمکم کنین


      • Yaghoub says:

        متاسفانه من هیچکدام از دانشجویان دکترا یا کارشناسی ارشد در ایران را نمی شناسم و کلا با متخصصین نظریه گروه ها هم آشنا نیستم. ببخشید که از این نظر نمیتونم به شما کمک کنم

  7. Hans Tilgner says:

    For a more general definition of the Weyl algebra see the website, mentioned below. I should like to see your result on inner derivations of this algebra in that general definition on symplectic vector spaces. And else: In which part of the world is the Simon Fraser Univ.?

  8. alp says:

    Thank you. I like this blog and read lots of things.

  9. rustam says:

    Thanx for a nice blog! Really helped much in regular ring theory 😉

  10. moduleman says:

    Thank you for this site i am a phd student. I am working on homological algebra and your blog is useful for me. I am going to study your blog. Thanks.

  11. f-A says:

    Hi , I am a masters student at university of mumbai and this year is my final year,I just read ” Groups of order p^2*q^n are not simple” from you.I used it to solve some homework. Thank you.But are you an iranian?I am an iranian .

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s